Na mecânica quântica, o caso de uma partícula em um anel unidimensional é semelhante à partícula em uma caixa^[1][2]. A equação de Schrödinger para uma partícula livre que é restrita a um anel^[3] (tecnicamente, cujo espaço de configuração é o círculo ${\displaystyle {�}^1}$) é

${\displaystyle -\frac{{\hslash }^2}{2�}{\mathrm{\nabla }}^2�=��}$ 

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Função de onda

Usando coordenadas polares no anel unidimensional de raio R, a função de onda depende somente da coordenada angular, e assim

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{{�}^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2}{\mathrm{\partial }{�}^2}}$

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exigindo que a função de onda seja periódica em ${\displaystyle �}$ com um período ${\displaystyle 2�}$ (da demanda de que as funções de onda sejam funções de valor único no círculo), e que elas sejam normalizadas leva às condições

${\displaystyle {\int }_0^{2�}{\left|�(�)\right|}^2���=1}$,

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e

${\displaystyle �(�)=�(�+2�)}$

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Nestas condições, a solução da equação de Schrödinger é dada por

${\displaystyle {�}_{\pm }(�)=\frac{1}{\sqrt{2��}}{�}^{\pm �\frac{�}{\hslash }\sqrt{2��}�}}$

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Um problema importante na mecânica quântica é o de uma partícula num potencial esfericamente simétrico, isto é, um potencial que depende apenas da distância entre a partícula e um ponto central definido. Em particular, se a partícula em questão é um elétron e o potencial é derivado da lei de Coulomb, então o problema pode ser usado para descrever um átomo de hidrogênio (um elétron ou íon).

No caso geral, a dinâmica de uma partícula em um potencial esfericamente simétrico é governada por um hamiltoniano da seguinte forma:

${\displaystyle \widehat{�}=\frac{{\widehat{�}}^2}{2{�}_0}+�(�)}$ 

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onde ${\displaystyle {�}_0}$ é a massa da partícula, ${\displaystyle \widehat{�}}$ é o operador momentum, e o potencial ${\displaystyle �(�)}$ depende apenas de ${\displaystyle �}$, o módulo do vetor raio; r. As funções e energias da onda quântica (autovalores) são encontradas resolvendo a equação de Schrödinger com este hamiltoniano. Devido à simetria esférica do sistema, é natural usar coordenadas esféricas ${\displaystyle �}$, ${\displaystyle �}$ e ${\displaystyle �}$. Quando isso é feito, a equação de Schrödinger independente do tempo para o sistema é separável, permitindo que os problemas angulares sejam tratados facilmente, e deixando uma equação diferencial ordinária em ${\displaystyle �}$ para determinar as energias para o potencial particular ${\displaystyle �(�)}$ em discussão.